Куравлёв дебютировал в кино ещё студентом — сыграл в фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин» и в дипломной работе Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают».
В 1960-е на экраны вышли ещё две картины Шукшина с участием Леонида Куравлёва («Живет такой парень» и «Ваш сын и брат»), фильм режиссёра Константина Ершова «Вий», а также комедия Михаила Швейцера «Золотой телёнок» с неподражаемым Шурой Балагановым. Леонид Куравлёв стал любимцем советских зрителей.
В 1970-е годы актёр был на пике популярности: Робинзон Крузо в картине «Жизнь и удивительные приключения Робинзона Крузо», фашистский офицер Айсман в легендарном сериале «Семнадцать мгновений весны», вор-домушник Жорж Милославский в комедии Леонида Гайдая «Иван Васильевич меняет профессию», слесарь-сантехник Афоня в одноимённой комедии Георгия Данелия.
В 1980-е годы его любили за дуэт с Софико Чиаурели в комедийном детективе Аллы Суриковой «Ищите женщину», за образ Миши Дятлова в комедии «Самая обаятельная и привлекательная» и фон Борка в приключенческом фильме «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона. Двадцатый век начинается».
В 1990-е годы Куравлёва не затронул простой, в который попали многие актёры. Он сыграл председателя жилтоварищества в драме «Мастер и Маргарита», помещика Муромского в мелодраме «Барышня-крестьянка», вахмистра Букина в исторической драме «Сибирский цирюльник».
В 2000-е годы режиссёры нередко предлагали Леониду Куравлеву роли различных военных и милицейских начальников в сериалах. А среди его последних киноработ — детектив «Турецкий гамбит» и фильм-сказка студии Disney «Книга Мастеров».
Последние несколько лет, после смерти в 2013 году жены Нины, с которой они прожили вместе долгую жизнь (они познакомились на катке, когда Куравлёву было 16 лет), он стал практически затворником.
30 января 2022 года Леонид Куравлёв умер в Москве в возрасте 85 лет.