Евгений Леонов родился в Москве в семье Павла Васильевича и Анны Ильиничны Леоновых. Отец работал инженером на авиазаводе, мать была домохозяйкой. Евгений был вторым ребёнком в семье. Брат Николай старше его на два года.
Во время Великой Отечественной войны вся семья работала на авиационном заводе. А Евгений по совету родителей поступил в Авиационный техникум им. Серго Орджоникидзе. Учёбу он бросил на третьем курсе и поступил на драматическое отделение Московской экспериментальной театральной студии, которой руководил Ростислав Захаров, известный балетмейстер Большого театра.
В 1947 году окончил студию и был принят в Московский театр Дзержинского района.
С 1948 года Леонов выступал выступал на сцене театра им. Станиславского.
В 1950-х в жизни актёра произошли серьёзные изменения: он стал мужем и отцом.
В 1968 году Леонов перешёл в театр им. Маяковского. Однако из-за многочисленных сьёмок в кино актёр редко там появлялся, что повлекло разногласия с художественным руководителем Андреем Гончаровым. В результате в скором времени Леонов перешёл в театр им. Ленинского комсомола, который возглавлял Марк Захаров.
Популярность Евгений Леонов приобрёл после выхода на экраны фильма «Полосатый рейс».
Леонов органично перевоплощался в своих многочисленных добродушных, приятных, привлекательных героев, простоватых, с обаятельной хитрецой, даже несмотря на то, что многие роли актёра на поверку явно отрицательные (Король в «Обыкновенном чуде», сосед Харитонов в «Осеннем марафоне», шофёр Мишка Снегирёв в «Деле Румянцева», Уэф в «Кин-дза-дза», «Король» в «Совсем пропащий», сотрудник советского посольства в «Паспорте»).
В кинематографе Леонов практически не гримировался, даруя героям свою внешность — небольшой рост, полную мешковатую сутулую фигуру, круглое лицо с большим носом и толстыми губами, голову со значительной проплешиной.
Глуховатый хриплый голос Леонова моментально узнаваем. Особой любовью многих поколений зрителей до сих пор продолжает пользоваться и его работа по озвучиванию анимационных фильмов, прежде всего, конечно, истории о Винни-Пухе.
Скончался Евгений Леонов 29 января 1994 года на 68-м году жизни. Актёр похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.